/* wxMaxima 0.7.2 http://wxmaxima.sourceforge.net
Maxima 5.12.0 http://maxima.sourceforge.net
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Curso "Maxima Para Exatas" - 2a Aula parte 3, 04/06/2007

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Cálculo de extremo local de função à la Cálculo I :

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Use o Teste da Derivada Segunda (se aplicável) para achar o extremo
local de f. Discuta sobre a concavidade, obtenha as abcissas dos pontos
de inflexão, e esboce o gráfico de f.
f(x)= 3x^4-4x^3+6 :

/*
Usamos a definição de uma função "f(x)" com variável muda "x" :

(%i1) f(x):=3*x^4-4*x^3+6;

Result

/*
Para obter os pontos críticos, a derivada primeira de f(x) é simplesmente calculada
via "diff" :

(%i2) diff(f(x),x);

Result

/*
Calcula os valores de x tais que f'(x) = 0, ou seja, os pontos críticos, que
são x=0 e x=1. Note que no uso de "solve" para resolver a equação polinomial :
- usa-se "=" para definir equação;
- a solução é na forma de lista delimitada por colchetes "[" e "]", com elementos
separados por vírgulas.
Vide mais detalhes no help de "solve".

(%i3) solve(diff(f(x),x)=0,x);

Result

/*
Para fazer o teste da derivada segunda de f(x), a derivada segunda é calculada :

(%i4) diff(f(x),x,2);

Result

/*
No ponto crítico x=0 temos que o teste da derivada segunda de f(x) é inconclusivo quanto
a extremo local de f(x), pois :
- a concavidade não é para cima (derivada segunda positiva) e assim não é um mínimo
local;
- a concavidade não é para baixo (derivada segunda negativa) e assim não é um máximo
local;
- temos um ponto de inflexão (derivada segunda nula).
A função "ev" avalia uma expressão usando valores locais para variáveis. Aqui "x"
continua sendo uma incógnita fora da função "ev" :

(%i5) ev(%,x=0);

Result

/*
No ponto crítico x=1 temos que o teste da derivada segunda de f(x) é conclusivo quanto
a extremo local de f(x), pois : a concavidade é para cima (derivada segunda positiva)
e assim temos um mínimo local :

(%i6) ev(%o4,x=1);

Result

/*
O Maxima permite uma fácil visualização da função f(x), onde vemos claramente que em
x=1 temos um mínimo local e que em x=0 temos um ponto de inflexão :

(%i7) wxplot2d([f(x)], [x,-1,2], [y,2,10],
 [gnuplot_preamble, "set grid;"])$

Result

/*
A derivada primeira de f(x) é também facilmente visualizada com o Maxima : em x=0 e
x=1 f'(x) é nula, com máximo em x=0 e é crescente em x=1 :

(%i8) wxplot2d([diff(f(x),x)], [x,-1,2], [y,-3,3], [gnuplot_preamble, "set grid;"])$

Result

/*
Vemos que há 2 pontos de inflexão, i.e., com f''(x)=0, em x=0 e x=2/3 :

(%i9) solve(diff(''f(x),x,2)=0,x);

Result

/*
O gráfico da derivada segunda de f(x) mostra que ela é negativa somente em um
pequeno trecho, entre x=0 e x=2/3 :

(%i10) wxplot2d([diff(f(x),x,2)], [x,-1,2], [gnuplot_preamble, "set grid;"])$

Result

(%i11)


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